Существительное, одушевлённое, мужской род, несклоняемое (тип склонения 0 по классификации А. А. Зализняка).
В знач. ‘город в Туркмении’ слово склоняется по образцу для неодушевлённых существительных (кого/что? — Туркменбаши́, Туркменбаши́).
истор.титул первого президентаТуркменииСапармурата Ниязова◆ Бермухамедов неторопливо, осторожно, но последовательно от ряда странностей, завещанных Туркменбаши, освобождается. Он отменил обязательное преподавание в школах главного предмета ― изучение книги Ниязова «Рухнама». Вернул традиционный календарь, поскольку месяцы и дни недели были названы именами прежнего президента, его мамы и героев туркменского эпоса. Открыл закрытый театр оперы и балета ― эти виды искусства были признаны Ниязовым «лишними». «Sic transit gloria mundi» // «Однако», 2010 г.[НКРЯ]
геогр. то же, что Туркменбашы; название города в Туркмении ◆ Город Туркменбаши при всей своей внешней скромности - центр нефтеперерабатывающей промышленности Туркмении. Алексей Мочалов, «Туркмения. Город Туркменбаши», 30 января 2013 г. [источник — alexey-mochalov.livejournal.com]